В конце позапрошлого и в начале прошлого 2020 года, в журнале «Философия науки» были опубликованы две статьи, посвящённые революции в математике (в понимании Т. Куна), которые обладают достаточным предельным обобщением, чтобы включить их в свой обзор для подтверждения концептов эйдетической онтологии, в частности – представлений о сингулярности.
***
Владислав Шапошников:
Революции в математике: возвращаясь к старому спору Часть 1 («Философия науки » №2, 2019)
Революции в математике: возвращаясь к старому спору. Часть 2 («Философия науки » №1, 2020)
По сути дела, в статьях речь идет в дарвинистских терминах постоянства и изменчивости в математике, которые я увязываю с субстанциональностью в онтологии, соответственно: пассивной и активной.
Особенно интересным представляется термин «ядро», которое автор применяет во второй статье:
«… Уайлдер относит также стандарты строгости математического доказательства. Однако в математике теории (которые, по-видимому, и образуют ее «ядро») не отбрасываются.»
««Тело математики» представляет собой, согласно Корри, объективное, стабильное и постоянно расширяющееся, т. е. ведущее себя кумулятивно, «твердое ядро (hard core)», в то время как «образы математики» – социально и исторически обусловленные и изменчивые результаты как внутренней, так и внешней для математики рефлексии по поводу ее методологии и природы. Эти «образы», с одной стороны, задают условия роста «тела» или «ядра» математики, а с другой – определяют собой философию и историографию математики.»
«Можно и нужно существенно усилить революционный характер развития математики в нашем восприятии, критикуя саму возможность исторически инвариантным образом выделить ее «ядро» (Уайлдер), четко отделить объектный уровень от мета уровня (Данмор) или «математическое содержание» от «математической формы» (Кроу в формулировке Корри), или «тело» от «образов» (Корри). Тем самым революции на метауровне будут неизбежно затрагивать и предполагаемый объектный уровень математики, радикальное изменение «формы» – менять и «содержание», а «ядро» перестанет быть «абсолютно твердым», представ исторически изменчивым и пластичным.»
Двойственность в выражениях содержание/форма или тело/образ – это довольно устойчивые ментальные модели в интеллектуальной практике, которые мы трактуем как сущности в эйдетическом представлении. Но что такое «ядро» в математике?
***
Если мы наберем в Гугл «ядро математики», то в ответ нам выпадет в «первых рядах» следующие значения:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро_(алгебра)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро_(теория_категорий)
1) Ядро алгебры, определение:
«Ядро в алгебре — характеристика отображения f: A → B, обозначаемая ker f, отражающая отличие f от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента e. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения f множество ker f всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из A).»
2. Ядро теории категорий, определение:
«Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма f: X → Y — это «наиболее общий» морфизм k: K→X , после которого применение f даёт нулевой морфизм.»
Рис: https://ru.wikipedia.org/wiki/Ядро_(теория_категорий)#/media/Файл:KerCat01.png
#/media/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:KerCat01.png){kind=link}
Если мы начнем вникать, а что такое нулевой морфизм в категории групп (или модулей), то придём к некому понятию: тривиальная группа 1 = {1}.»
В свою очередь определение тривиальной группы:
«В математике, тривиальная группа — это группа, состоящая из одного элемента. Этот элемент обязан быть единицей группы; в зависимости от контекста его обозначают 0 (если групповая операция — сложение), 1 (в том случае, когда под групповой операцией подразумевается умножение) или e. Тривиальную группу нельзя путать с пустым множеством, поскольку аксиомы группы требуют наличия в ней единицы.»
***
Этими всеми рассуждениями, я хочу сказать, (а известно это было еще от Платона), что для того. что бы любые преобразования эволюционного развития не теряли кумулятивный (преемственный) смысл, на множестве их преобразований, всегда нужна некая неизменная сущность, предающая всей эволюционной конструктивности (онтологии) в ее изменчивости, необходимое для исторического наследственное постоянство.
В этом плане, А.Ф. Лосев в «Диалектические основы математики» и постулировал арифметическую единицу как двойственный акт (Сингулярность в онтологии), который я назвал субстанциальной эйдетической сущностью=пассивное/активное, которая для само-развивающих систем (кибернетики) можно назвать философской сингулярностью.
То, что в теории категорий вдруг появился нулевой морфизм очень хорошо ложится в общую картину о двойственности субстанций (Комментарии к «Закону Бога» С.Л. Василенко) как противоречивой «формулы Бога» С.Л. Василенко: «0 ≡ 1″. (По своей сути нулевой морфизм означает только то, что обход «стрелок» по контуру через два пункта (X,Y) является инвариантом преобразований морфизма.)
В частности, в этом комментарии и «нулевой морфизм» и «сингулярность» рассматриваются с позиции фундаментальных представлений об организменности, где 0 символизирует вещественное постоянство (пассивное), на основе симметрии знакопеременной аддитивности. А 1 символизирует метаболическое постоянство в едином теле на основе симметрии знакопеременной мультипликативности.
***
Суммируя вышеизложенное:
Для позиционной эйдетической онтологии важно, что на разных «этажах» эволюционного развития математики, от арифметики до теории категорий, сохраняется некая тривиальная, сингулярная сущность (единица, алгебраическое ядро, и категориальное ядро), которая организуется преемственно. Что полностью совпадает с диалектикой в рамках «одно»-«многое» по Платону. Если математика хочет называть эту сущность «ядром» – на здоровье!