На одном из форумов ФБ [1], обсуждалась статья: Бажанов В.А. «Разновидности и противостояние реализма и антиреализма в философии математики. Возможна ли третья линия?». Ниже приводится «переработанный» текст моих аргументов, исходя из эйдетических представлений.
.
Понимание «структуры» в математике.
Когда я читаю, например у М. Резник «Структурализм и идентичность математических объектов» такую фразу:
«…стандартные, и нестандартные модели теории чисел проявляют Первопорядковую Структуру, относящуюся к Натуральным Числам», то хочется позиционироваться на том, что он понимает под «Первопорядковуой Структурой»? Ан нет! Он постоянно уводит тему в сторону:
«Существуют ли числа? Снова я утверждаю, что да. …. Этот разговор касается того, как могут быть организованы объекты. Разговор о возможностях может стать разговором о реальностях. Как положения эти объекты должны подчиняться иным критериям существования (legitimacy) по сравнению с не-положениями.»
Но прочитав его (Резника) статью я так и не понял, что такое СТРУКТУРА?….
***
Я вижу главную проблему философии математики («болевую точку») в отсутствии понимания диалектического принципа кумулятивности, как наращивания параметрических степеней свобод в эйдосах (примеры):
Линейной геометрии:
точка – линия – угол – плоская фигура – объемная фигура ;
Натурального числа:
полагание – единица – ряд – группировки (разряда) – представление ;
Категориальный подход:
качество – количество – изменение (направления) – структура – проявление ;
Эйдетическая логика (программный подход):
идентификация – эквивалентность – логический выбор – структуризация – композиция ;
…
Какую бы мы страту бытия не взяли, если мы можем найти эйдос, то его четвертый статус и будет в системном плане «структурой». Когда я читаю статьи, где ссылаются на аксиомы Пеано как определение числа, я отказываюсь понимать – ведь в них нет определения разряда и группировок. А без них и числа нет! Возможно, что и я что-то недопонимаю!
***
Функция.
Хорошо, возьмем понятие функции, и попытается на нее посмотреть «системными глазами эйдоса» самым элементарным образом.
Пусть у нас есть некая переменная х (икс). Ну а что значит переменная? А то, что мы можем подставить в нее любое натуральное число (сузим задачу). Таким образом, наша «переменная» обладает свойством «операционной свободы», которое ПРЕДШЕСТВУЕТ ей. Тут начинаются экзистенциальные трудности представимости первого статуса (как вообще любого Начала), как например «точка» или «полагание».
В любом случае, эйдос числа (статика) обладает неком комплементарной ему эйдосом (динамика):
непрерывность – дискретность – сложение – умножение – возведение в степень ;
Но вернемся к «переменной» х (икс). В соответствии с идеями, изложенными мной в «Эйдетической логике», существуют онтологические координаты, задаваемые активным (А) и пассивным (П) фактором.
1) «операциональность» – это активный фактор (1/А);
2) «переменная» это возможность фиксации числом (П/А);
3) переменную можно подвергать лосевскому «становлению» и в этом случае мы имеем дело с «операцией» (сложение, умножение и т.п.) (П/АА)
4) когда мы эту «операцию отражаем как лосевское «ставшее», в новой переменной y=f(x), то мы получаем функцию (как равно-масштабное отображение одного множества на другое, ортогональное). Иными словами это то, что я называю «квадратичностью» (ПП/АА).
5) На этом статусе лосевское «проявление» для функции получает дальнейшее развитие через активный фактор. Активный фактор здесь связан с операциональной свободой, в следствии чего мы имеем общеизвестное «проявление» как композицию функций. Это и будет правильной интерпретацией данного статуса ((ПП/ААА). Итак, получили эйдос функции:
операциональность – переменная – операция – функция – композиция функций
Итак, функция – это СТРУКТУРА в системном эйдетическом плане, «квадратичность» которой обеспечивается ортогональными переменными x, y.
Еще раз:
- в эйдосе числа структура, это квадратичная матрица единиц;
- в комплементарном числу, эйдосе вычислений, структура это таблица умножений;
- в эйдосе функций, структура это «связь между элементами множеств»; в нашем примере х и у.
В философском плане, второй статус эйдоса всегда отражает сущность («нечто постоянное при любых изменениях»):
Сущность числа – «единица»,
сущность линейной геометрии – «линия»,
сущность функции – «переменная».
.
Производная и интеграл, как статусы эйдоса.
Умозрительно мы представляем себе производную как вторичную функцию темпа первичной функции, а интеграл ассоциируется с площадью под функцией. В любом случае, есть нечто первичное (сущность) и вторичное, имеющее смысл. И даже философски можно интерпретировать это как становление или ставшее.
Подобно тому, как для эйдетического числа,
полагание – единица – ряд – группировки (разряда) – представление ;
существует комплементарный ему эйдос арифметических операций:
непрерывность – дискретность – сложение – умножение – возведение в степень
так же и для эйдоса функций:
операциональность – переменная – операция – функция – композиция функций,
существует комплементарный ему эйдос операций над функцией, включающий известные дифференцирование и интегрирование. Идею композиции функции, как функцию от функции, я представлю через параметр t, не раскрывая его внутреннего вида. В любом случае, мы знаем, что из числовой оси ей «выскочить» не удастся. Тогда эйдос операций над функцией можно обозначить так:
параметр [(v)] – функция [f(v)] – производная [df(v))/dv] – интегрирование [∫f(v)df] – производная интеграла [d(∫f(v)df)/d v]
Для некоторых, вот такое представление интеграла ∫f(v)df покажется странным. Тем более что его уже можно записывать и так: ∫fdf, без внутреннего параметра v. Этого требует именно логика эйдоса! f(v) – это сущность, единичность, «новая» эксплицитная переменная у которой имплицитная сложность «спрятана» в t. А нас не интересует в эйдосе какой (композиционной) сложностью обладает это t. Важно, что такое построение (от сущности) обеспечивает «квадратичность» своего системного «этажа» от двух ортогональных переменных w и v, в формуле w = ∫f(v)df. Ясно, что формула w = ∫f(v)df = Ф(v), является эйдетическим морфизмом от простой функции y=f(x). Так же ясно, что в системном плане, мы приближаемся к пониманию математической вариации.
Где на практике можно встретить подобный эйдос? Это эйдос динамики материальной точки:
dm/dt – mV – m(dV/dt) – mVV/2 – mV(dV/d)
Если заменить в эйдосе выше V на f(t), и вынесем массу за скобки как константу, то получим совпадение. Действительно интеграл от V равен VV/2. И дальше все совпадает. И никого обычно не интересует явный вид V от t – V(t). А на самом деле, за этим кроется глубокий физический смысл, раскрываемый, к примеру, в трудах Геннадия Шипова, посвященных торсионным теориям.
Для нас время (t) – это метрологическое понятие в формулах, прежде всего. Иначе порвется тонкая нить между теориями и практикой. Параметрическое представление, в данном случае, оставляет возможность понять устройство мира.
.
Вывод.
В контексте тех знаний, что эйдос (как принцип формообразования) – идея Платона, имеющая в своей конструктивности определенные этапы (статусы), я, в рамках обсуждаемой статьи, остаюсь на позициях реализма (платонизма). Все что относится к антиреализму, ИМХО, надо рассматривать в рамках парменидовского тождества бытия и мышления, под ракурсом гомологии эйдосов.
.
Ссылки.
1. https://www.facebook.com/groups/philosophy.math/648112818614889/